29-10-2012: Андрей
Допущена опечатка в формуле изгибающего момента для балки с жестким защемлением на опорах(3-я снизу): длина должна быть в квадрате. Допущена опечатка в формуле максимального прогиба для балки с жестким защемлением на опорах (3-я снизу): должно быть без "5".
29-10-2012: Доктор Лом
Да, действительно, были допущены ошибки при редактировании после копирования. На данный момент ошибки исправлены, спасибо за внимательность.
01-11-2012: Вик
опечатка в формуле в пятом сверху примере (перепутаны степени рядом с иксом и эль)
01-11-2012: Доктор Лом
И это правда. Исправил. Спасибо за внимательность.
10-04-2013: flicker
В формуле Т.1 2.2 Mmax, похоже, не хватает квадрата после a.
11-04-2013: Доктор Лом
Верно. Эту формулу я скопировал из "Справочника по сопротивлению материалов" (под ред. С.П. Фесика, 1982г, стр. 80) и даже не обратил внимания, что при такой записи даже размерность не соблюдается. Сейчас пересчитал все лично, действительно расстояние "а" будет в квадрате. Таким образом получается, что наборщик пропустил маленькую двоечку, а я повелся на эту пшенку. Исправил. Спасибо за внимательность.
02-05-2013: Timko
Добрый день хотел бы спросить у вас в таблице 2, схема 2.4, интересует формула "момент в пролете" где не ясен индекс Х -? не могли бы вы ответить)
02-05-2013: Доктор Лом
Для консольных балок таблицы 2 уравнение статического равновесия составлялось слева направо, т.е. началом координат считалась точка на жесткой опоре. Однако если рассматривать зеркальную консольную балку, у которой жесткая опора будет справа, то для такой балки уравнение момента в пролете будет намного проще, например, для 2.4 Мх = qx2/6, точнее -qx2/6, так как сейчас считается, что если эпюра моментов расположена сверху, то момент при этом отрицательный.
С точки зрения сопромата знак момента - достаточно условное понятие, так как в поперечном сечении, для которого определяется изгибающий момент все равно действуют как сжимающие, так и растягивающие напряжения. Главное понимать, что если эпюра расположена сверху, то и растягивающие напряжения будут действовать в верхней части сечения и наоборот.
В таблице минус для моментов на жесткой опоре не проставлен, однако направление действия момента учитывалось при составлении формул.
25-05-2013: Дмитрий
Скажите пожалуйста, при каком соотношении длины балки к ее диаметру справедливы сии формулы?
Я хочу узнать или это подкодит только для длинных балок, которые в строительстве зданий, или можна применять также для расчета прогибов валов, длиной до 2 м. Пожалуйста ответте так l/D>...
25-05-2013: Доктор Лом
Дмитрий, я вам уже говорил, для вращающихся валов расчетные схемы будут другие. Тем не менее, если вал в неподвижном состоянии, то его можно рассматривать как балку, причем не важно, какое у нее сечение: круглое, квадратное, прямоугольное или какое-то еще. Данные расчетные схемы наиболее точно отражают состояние балки при l/D>10, при соотношении 5 25-05-2013: Дмитрий
Спасибо за ответ. Можете еще назвать литературу, на которую я могу сослаться, в своей работе? 25-05-2013: Доктор Лом
Не знаю, какую именно задачу вы решаете, и потому вести предметный разговор трудно. Попробую объяснить свою мысль по другому. 25-05-2013: Дмитрий
Можно тогда с вами пообщаться через mail или Skype? Я вам расскажу что за работу я делаю и для чего были предыдущие вопросы. 25-05-2013: Доктор Лом
Можете написать мне, адреса электронной почты на сайте найти не трудно. Но сразу предупрежу, никакими расчетами я не занимаюсь и партнерские контракты не подписываю. 08-06-2013: Виталий
Вопрос по таблице 2, вариант 1.1, формула прогиба. Просьба уточнить размерность. 09-06-2013: Доктор Лом
Все верно, на выходе получаются сантиметры. 20-06-2013: Евгений Борисович
Здравствуйте. Помогите прикинуть. У нас возле ДК стоит сцена летняя деревянная, размер 12,5 х 5.5 метров, по углам стойки - металлические трубы диаметром 100 мм. Заставляют делать крышу типа фермы (жаль что нельзя рисунок прикрепить) покрытие поликарбонад, фермы изготавливать из профильной трубы (квадрат или прямоугольник) стоит вопрос о моей работе. Не будешь делать уволим. Я говорю что не пойдет, а администрация вместе с моим начальником говорят все пойдет. Как быть? 20-06-2013: Доктор Лом
22-08-2013: Дмитрий
Если балка (подушка под колонной) лежит на плотном грунте (точнее закопана ниже глубины промерзания), то какой схемой следует воспользоваться для расчета такой балки? Интуиция подсказывает, что вариант "на двух опорах" не подходит и что изгибающий момент должен быть существенно меньше. 22-08-2013: Доктор Лом
Расчет фундаментов - отдельная большая тема. К тому же не совсем понятно о какой балке идет речь. Если имеется в виду подушка под колонну столбчатого фундамента, то основой расчета такой подушки является прочность грунта. Задача подушки - перераспределить нагрузку от колонны на основание. Чем меньше прочность, тем больше площадь подушки. Или чем больше нагрузка, тем больше площадь подушки при той же прочности грунта. 23-08-2013: Дмитрий
Имеется в виду подушка под колонну столбчатого фундамента. Длина и ширина подушки уже определены исходя из нагрузки и прочности грунта. Но вот высота подушки и количество арматуры в ней под вопросом. Хотел посчитать по аналогии со статьей "Расчет железобетонной балки", но полагаю, что считать изгибающий момент в подушке, лежащей на грунте, как в балке на двух шарнирных опорах будет не совсем верно. Вопрос - по какой расчетной схеме считать изгибающий момент в подушке. 24-08-2013: Доктор Лом
Высота и сечение арматуры в вашем случае определяются как для консольных балок (по ширине и по длине подушки). Схема 2.1. Только в вашем случае опорная реакция - это нагрузка на колонну, точнее часть нагрузки на колонну, а равномерно распределенная нагрузка - это отпор грунта. Другими словами, указанную расчетную схему нужно перевернуть. 10-10-2013: Ярослав
Добрый вечер.Помогите пожалуста,подобрать метал. балку для прольота 4.2 метра.Жилой дом в два етажа,цоколь перекрыт пустотелыми плитами длиной 4.8 метра,сверху несущая стена в 1.5 кирпича длиной в 3.35 м высотой 2.8м.дальше дверной пройом.Сверху на етой стене плиты перекрытия с одной стороны длиной 4.8м. с другой 2.8 метра на плитах опять несущая стена как етажом ниже и сверху деревяные балки 20 на 20см длиной 5м.6 штук и длиной 3 метра 6 штук пол из досок 40мм.25м2. Других нагрузок нету.Прозьба подскозать какую двутавру брать чтобы спать спокойно. Пока всьо ето стоит уже 5 лет. 10-10-2013: Доктор Лом
Посмотрите в разделе: "Расчет металлических конструкций" статью "Расчет металлической перемычки для несущих стен" в ней достаточно подробно описан процесс подбора сечения балки в зависимости от действующей нагрузки. 04-12-2013: Кирилл
Подскажите, пожалуйста, где можно ознакомиться с выводом формул максимального прогиба балки для п.п. 1.2-1.4 в Табл.1 04-12-2013: Доктор Лом
Вывод формул для различных вариантов приложения нагрузок на моем сайте не приводится. Общие принципы, на которых основан вывод подобных уравнений, вы можете посмотреть в статьях "Основы сопромата, расчетные формулы" и "Основы сопромата, определение прогиба балки". 24-03-2014: Сергей
допущена ошибка в 2.4 табл 1. не соблюдается даже размерность 24-03-2014: Доктор Лом
Никаких ошибок, а тем более несоблюдения размерности в указанной вами расчетной схеме не вижу. Уточните, в чем именно ошибка. 09-10-2014: Саныч
Добрый день. А у М и Мmax разные единицы измерения? 09-10-2014: Саныч
Таблица 1. Расчет 2.1. Если l возводится в квадрат, значит Мmax будет в кг*м2 ? 09-10-2014: Доктор Лом
Нет, у М и Mmax единая единица измерения кгм или Нм. Так как распределенная нагрузка измеряется в кг/м (или Н/м), то значение момента будет кгм или Нм. 12-10-2014: Павел
Вечер добрый. Работаю я на производстве мягкой мебели и директор подкинул мне задачку. Прошу вашей помощи, т.к. не хочется решать ее "на глазок". 12-10-2014: Доктор Лом
Это зависит от множества факторов. К тому же толщину трубы вы не указали. Например, при толщине 2 мм момент сопротивления трубы W = 3.47 см^3. Соответственно максимальный изгибающий момент, который может выдержать труба, M = WR = 3.47x2000 = 6940 кгсм или 69.4 кгм, тогда максимально допустимая нагрузка для 2 труб q = 2х8M/l^2 = 2х8х69.4/2.2^2 = 229.4 кг/м (при шарнирных опорах и без учета крутящего момента, который может возникнуть при передаче нагрузки не по центру тяжести сечения). И это при статической нагрузке, а нагрузка скорее всего будет динамической, а то и ударной (в зависимости от конструкции дивана и активности детей, мои по диванам прыгают так, что дух захватывает), так что считайте сами. Статья "Расчетные значения для прямоугольных профильных труб" вам в помощь. 20-10-2014: ученик
Док, помогите пожалуйста. 21-10-2014: Доктор Лом
Для начала, жестко закрепленная балка и опорные участки - понятия несовместимые, посмотрите статью "Виды опор, какую расчетную схему выбрать". Судя по вашему описанию, у вас либо однопролетная шарнирно опертая балка с консолями (см. таблицу 3), либо трехпролетная жестко защемленная балка с 2 дополнительными опорами и не равными пролетами (в этом случае уравнения трех моментов вам в помощь). Но в любом случае опорные реакции при симметричной нагрузке будут одинаковыми. 21-10-2014: ученик
Я понял. По периметру первого этажа армопояс 200х300h, внешний периметр 4400х4400. В него заанкерено 3 швеллера, с шагом 1 м. Пролет без стоек, на одном из них самый тяжелый вариант, нагрузка несимметричная. Т.Е. считатьбалку как шарнирную? 21-10-2014: Доктор Лом
22-10-2014: ученик
вообще да. Я так понимаю, что прогиб швеллера провернет и сам армопояс в месте крепления, поэтому получится шарнирная балка? 22-10-2014: Доктор Лом
Не совсем так, сначала вы определяете момент от действия сосредоточенной нагрузки, затем момент от равномерно распределенной нагрузки по всей длине балки, затем момент, возникающий при действии равномерно распределенной нагрузки действующей на некотором участке балки. И только затем складываете значения моментов. Для каждой из нагрузок будет своя расчетная схема. 07-02-2015: Сергей
А не ошибка ли в формуле Mmax для случая 2.3 в таблице 3? Балка с консолью, наверно плюс вместо минуса должен быть в скобках 07-02-2015: Доктор Лом
Нет, не ошибка. Нагрузка на консоль уменьшает момент в пролете, а не увеличивает. Впрочем, это видно и по эпюре моментов. 17-02-2015: Антон
Здравствуйте, во-первых спасибо за формулы, сохранил в закладках. Подскажите, пожалуйста, есть брус над пролетом, на брус ложатся четыре лаги, расстояния: 180мм, 600мм, 600мм, 600мм, 325мм. С эпюрой, изгибающим моментом разобрался, не могу понять как изменится формула прогиба (таблица 1, схема 1,4), если максимальный момент на третьей лаге. 17-02-2015: Доктор Лом
Я уже отвечал несколько раз на подобные вопросы в комментариях к статье "Расчетные схемы для статически неопределимых балок". Но вам повезло, для наглядности я выполнил расчет по данным из вашего вопроса. Посмотрите статью "Общий случай расчета балки на шарнирных опорах при действии нескольких сосредоточенных нагрузок", возможно со временем я ее дополню. 22-02-2015: Роман
Док, я вообще не могу осилить эти все непонятные для меня формулы. Поэтому прошу у вас помощи. Хочу сделать в доме консольную лестницу (ступеньки из железобетона замуровать при постройке стены). Стена - ширина 20см, кирпич. Длина выступающей ступеньки 1200*300мм Хочу, чтоб ступеньки были правильной формы(не клином). Понимаю интуитивно, что арматура будет "чем-потолще" чтоб ступеньки были чем-потоньше? Но справится ли с железобетон толщиной до 3см нагрузкой в 150кг на краю? Помогите пожалуйста, так не хочется лохануться. Буду очень благодарен, если поможете расчитать... 22-02-2015: Доктор Лом
То, что вы не можете осилить достаточно простые формулы - это ваши проблемы. В разделе "Основы сопромата" все это разжевано достаточно подробно. Здесь же скажу, что ваш проект абсолютно не реален. Во-первых, стена или шириной 25 см или шлакоблочная (впрочем, могу ошибаться). Во-вторых ни кирпичная ни шлакоблочная стена не обеспечат достаточного защемления ступенек при указанной ширине стены. Кроме того, такую стену следует просчитывать на изгибающий момент, возникающий от консольных балок. В-третьих, 3 см - недопустимая толщина для железобетонной конструкции с учетом того что минимальный защитный слой должен составлять в балках не менее 15 мм. И так далее. 26-02-2015: Роман
02-04-2015: виталий
что означет х во второй таблице, 2.4 02-04-2015: Виталий
Добрый день! Каку схему (алгоритм) нужно подобрать для расчета балконной плиты, консоль, защемленная с одной стороны, как правильно расчитать моменты на опоре и в пролете?Можно ли ее расчитать как консольную балку, по схемам с таблицы 2, а именно пунктам 1,1 и 2,1. Спасибо! 02-04-2015: Доктор Лом
x во всех таблицах означает расстояние от начала отсчета до исследуемой точки, в которой мы собираемся определить изгибающий момент или другие параметры. Да вашу балконную плиту, если она сплошная и на нее действуют нагрузки, как в указанных схемах, можно по этим схемам рассчитывать. Для консольных балок максимальный момент всегда на опоре, потому большой необходимости определять момент в пролете нет. 03-04-2015: Виталий
Спасибо большое! Еще хотел уточнить. Я так понял если расчитывать по 2 табл. схема 1.1,(нагрузка приложена на конец консоли) тогда у меня х=L, и соответственно в пролете М=0. Как быть если у меня эта нагрузка еще и по торцам плиты? И по схеме 2.1 я считаю момент на опоре, плюсую его к моменту по схеме 1.1 и по правильному для того что бы заармировать мне нужно найти момент в пролете. Если у меня вылет плиты 1,45м(в свету), как мне расчитать "х" что бы найти момент в пролете? 03-04-2015: Доктор Лом
Момент в пролете будет изменяться от Ql на опоре до 0 в точке приложения нагрузки, что видно по эпюре моментов. Если у вас нагрузка приложена в двух точках на концах плиты, то в этом случае более целесообразно предусмотреть балки, воспринимающие нагрузки по краям. При этом плиту уже можно рассчитывать как балку на двух опорах - балках или плиту с опиранием по 3 сторонам. 03-04-2015: Виталий
Спасибо! По моментам я уже понял. Еще один вопрос. Если балконная плита опираеться с двух сторон, буквой "Г". Катой тогда расчетной схемой нужно пользоваться? 04-04-2015: Доктор Лом
В этом случае у вас будет пластина, защемленная по 2 сторонам и на моем сайте примеров расчета подобной плиты нет. 27-04-2015: Сергей
Уважаемый доктор Лом! 27-04-2015: Доктор Лом
Оценивать надежность подобной конструкции без расчетов не стану, а рассчитать вы ее можете по следующим критериям: 05-06-2015: ученик
Док, а где Вам можно картинку показать? 05-06-2015: ученик
А у Вас вроде еще форум был? 05-06-2015: Доктор Лом
Был, но времени на разгребание спама в поисках нормальных вопросов у меня совершенно нет. Поэтому пока так. 06-06-2015: ученик
Док, моя ссылка https://yadi.sk/i/GardDCAEh7iuG 07-06-2015: Доктор Лом
Выбор расчетной схемы будет зависеть от того, чего вы хотите: простоты и надежности или приближения к реальной работе конструкции путем последовательных приближений. 07-06-2015: ученик
Док, спасибо.Мне нужны простота и надежность. Этот участок-самый нагруженный. Я подумывал даже о том, чтобы завязать стойку бака на затяжку стропил, для снижения нагрузки на перекрытие, учитывая, что на зиму вода будет сливаться. В такие дебри расчетов мне не залезть. В общем случае консоль будет снижать прогиб? 07-06-2015: ученик
Док, еще вопрос. консоль получается в середине пролета окна, имеет ли смысл смещение к краю? С уважением 07-06-2015: Доктор Лом
В общем случае консоль будет снижать прогиб, но как я уже говорил на сколько сильно в вашем случае - большой вопрос, да и смещение к центру оконного проема будет уменьшать роль консоли. И еще, если это у вас самый нагруженный участок, то может быть просто усилить балку, например еще одним таким же швеллером? Я ваших нагрузок не знаю, но нагрузка от 100 кг воды и половины веса бака не кажется мне такой уж внушительной, а вот швеллера 8П с точки зрения прогиба при 4 м пролете проходят ли с учетом динамической нагрузки при ходьбе? 08-06-2015: ученик
Док, спасибо за добрый совет. После выходных пересчитаю балку как двухпролетную на шарнирах. Если будет большая динамика при ходьбе, я конструктивно закладываю возможность уменьшения шага балок перекрытия. Домик дачный, поэтому динамика терпима. Большее влияние оказывает поперечное смещение швеллеров, но это лечится установкой поперечных связей или креплением настила. Единственно, не посыпется ли бетонная заливка? предполагаю её опору на верхнюю и нижнюю полки швеллера плюс сварная арматура в ребрах и сетка поверху. 08-06-2015: Доктор Лом
Я вам уже говорил, на консоль рассчитывать не стоит. 09-06-2015: ученик
Док, я понял. 29-06-2015: Сергей
Добрый день. Хотелось бы у Вас по интересоваться: отливали фундамент: сваи из бетона глубиной 1.8м, а потом отливали бетоном ленту глубиной 1м. Вопрос вот в чем: нагрузка передаётся только на сваи или она равномерно распределяется и на сваи и на ленту? 29-06-2015: Доктор Лом
Как правило сваи делаются при слабых грунтах, чтобы нагрузка на основание передавалась через сваи, поэтому ростверки по сваям рассчитываются, как балки на опорах-сваях. Тем не менее, если вы заливали ростверк по уплотненному грунту, то часть нагрузки будет передаваться основанию через ростверк. В этом случае ростверк рассматривается как балка, лежащая на упругом основании, и представляет собой обычный ленточный фундамент. Примерно так. 29-06-2015: Сергей
Спасибо. Просто на участке получается смесь глины, песка. Причём слой глины очень твёрдый: слой можно снять только при помощи лома и т.д.,т.п. 29-06-2015: Доктор Лом
Я всех ваших условий не знаю (расстояние между сваями, этажность и пр.). По вашему описанию получается, что вы сделали обычный ленточный фундамент и сваи для надежности. Поэтому вам достаточно определить, достаточно ли будет ширины фундамента для передачи нагрузки от дома основанию. 05-07-2015: Юрий
Здравствуйте! Нужна Ваша помощь в расчете. Металлическая воротина 1,5 х1,5 м весом 70 кг крепится на металлической трубе, забетонированной на глубину 1,2 м и обложенной кирпичом (столб 38 на 38 см).Какого сечения и толщины должна быть труба, чтобы не было изгиба? 05-07-2015: Доктор Лом
Вы правильно предположили, что вашу стойку следует рассматривать, как консольную балку. И даже с расчетной схемой вы почти угадали. Дело в том, что на вашу трубу будут действовать 2 силы (на верхнем и нижнем навесе) и значение этих сил будет зависеть от расстояния между навесами. Больше подробностей в статье "Определение вырывающего усилия (почему дюбель не держится в стене)". Таким образом в вашем случае следует выполнить 2 расчета прогиба по расчетной схеме 1.2, а затем полученные результаты сложить с учетом знаков (проще говоря из одного значения вычесть другое). 05-07-2015: Юрий
Спасибо за ответ. Т.е. мною расчет сделан по максимуму с большим запасом, и вновь рассчитанная величина прогиба всяко будет меньше? 06-07-2015: Доктор Лом
01-08-2015: Павел
Подскажите, пожалуйста, на схеме 2.2 таблицы 3 как определить прогиб в точке C, если длины консольных участков различны? 01-08-2015: Доктор Лом
В этом случае вам нужно пройти полный цикл. Есть ли в этом необходимость или нет, я не знаю. Для примера посмотрите статью, посвященную расчету балки на действие нескольких равномерно сосредоточенных нагрузок (ссылка на статью перед таблицами). 04-08-2015: Юрий
К моему вопросу от 05 июля 2015г. Есть ли какое правило минимальной величины защемления в бетоне данной металлической консольной балки 120х120х4 мм с воротиной 70 кг.- (например, не менее 1/3 длины) 04-08-2015: Доктор Лом
Вообще-то расчет защемления - отдельная большая тема. Дело в том, что сопротивление бетона сжатию - это одно, а деформации грунта, на который давит бетон фундамента - это совсем другое. Если коротко, то чем больше длина профиля и чем больше площадь, контактирующего с грунтом, тем лучше. 05-08-2015: Юрий
Спасибо! В моем случае металлическая стойка ворот будет заливаться в бетонной свае диаметром 300 мм длиной 1 м., а сваи по верху будут соединены бетонным ростверком с арматурным каркасом? бетон везде М 300. Т.е. деформации грунта не будет. Хотелось бы знать приблизительное, пусть с большим запасом прочности, соотношение. 05-08-2015: Доктор Лом
Тогда действительно 1/3 длины для создания жесткого защемления должно хватить. Посмотрите для примера статью "Виды опор, какую расчетную схему выбрать". 05-08-2015: Юрий
20-09-2015: Карла
21-09-2015: Доктор Лом
Можно сначала рассчитать балку отдельно на каждую нагрузку по представленным здесь расчетным схемах, а затем полученные результаты сложить с учетом знаков. 08-10-2015: Наталья
Здравствуйте, доктор))) 08-10-2015: Доктор Лом
Как я понял, вы ведете речь о балке из таблицы 3. Для такой балки максимальный прогиб будет не посредине пролета, а ближе к опоре А. В целом величина прогиба и расстояние х (до точки максимального прогиба) зависят от длины консоли, поэтому в вашем случае следует воспользоваться уравнениями начальных параметров, приведенных в начале статьи. Максимальный прогиб в пролете будет в точке, где угол поворота наклонного сечения равен нулю. Если консоль достаточно длинная, то прогиб на конце консоли может быть даже больше, чем в пролете. 22-10-2015: Александр
22-10-2015: Иван
Огромное спасибо Вам за ваши разъяснения. Предстоит куча работ по своему дому. Беседки, навесы, опоры. Попробую вспомнить то что в свое время старательной проспал а потом случайно сдал во Сов.ВТУЗ-е. 27-11-2015: Михаил
А разве не в СИ все размерности? (см коммент 08-06-2013 от Виталия) 27-11-2015: Доктор Лом
Какие именно вы будете использовать единицы кгс или Ньютоны, кгс/см^2 или Паскали, не имеет принципиального значения. В итоге вы все равно получите на выходе сантиметры (или метры). См коммент 09-06-2013 от Доктора Лома. 28-04-2016: Денис
Здравствуйте у меня балка по схеме 1.4. какая формула для нахождения поперечной силы 28-04-2016: Доктор Лом
Для каждого участка балки значения поперечной силы будут разные (что впрочем видно по соответствующей эпюре поперечных сил). На первом участке 0 < x < a, поперечная сила будет равна опорной реакции А. На втором участке a < x < l-b, поперечная сила будет равна А-Q и так далее, больше подробностей смотрите в статье "Основы сопромата. Расчетные формулы". 31-05-2016: Виталий
Спасибо огромное, вы большой молодец! 14-06-2016: Денис
Во время наткнулся на ваш сайт. Чуть не промахнулся с расчетами всегда думал что консольная балка с нагрузкой на конце балки будет прогибаться сильнее чем с равномерно распределенной нагрузкой а формулы 1.1 и 2.1 в таблице 2 показывают обратное. Спасибо за вашу работу 14-06-2016: Доктор Лом
Вообще-то сравнивать сосредоточенную нагрузку с равномерно распределенной имеет смысл лишь тогда когда одна нагрузка приведена к другой. Например при Q = ql формула определения прогиба по расчетной схеме 1.1 примет вид f = ql^4/3EI, т.е. прогиб будет в 8/3 = 2.67 раза больше, чем при просто равномерно распределенной нагрузке. Так что формулы для расчетных схем 1.1 и 2.1 ничего обратного не показывают и изначально вы были правы. 16-06-2016: инженер гарин
добрый день! вот все-таки никак не могу взять в толк-буду очень признателен, если поможете раз и навсегда разобраться-при расчете (любом) обычной балки двутавровой с обычной распределенной нагрузкой по длине какой момент инерции использовать - Iy или Iz и почему? ни в одном учебнике сопромата не могу найти-всюду пишут, что сечение должно стремиться к квадрату и брать надо наименьший момент инерции. Никак не могу ухватить за хвост физический смысл-можно это как-то на пальцах истрактовать? 16-06-2016: Доктор Лом
Я вам советую для начала посмотреть статьи "Основы сопромата" и "К расчету гибких стержней на действие сжимающей внецентренной нагрузки", там все достаточно подробно и наглядно разъяснено. Здесь же добавлю, что мне кажется, вы путаете расчеты на поперечный и продольный изгиб. Т.е. когда нагрузка перпендикулярна нейтральной оси стержня, то определяется прогиб (поперечный изгиб), когда нагрузка параллельна нейтральной оси балки, то определяется устойчивость, другими словами, влияние продольного изгиба на несущую способность стержня. Конечно же при расчетах на поперечную нагрузку (вертикальную нагрузку для горизонтальной балки) момент инерции следует принимать в зависимости от того, какое положение имеет балка, но в любом случае это будет Iz. А при расчетах на устойчивость, при условии, что нагрузка приложена по центру тяжести сечения, рассматривается наименьший момент инерции, так как вероятность потери устойчивости именно в этой плоскости значительно больше. 23-06-2016: Денис
Здравствуйте, такой вопрос почему в таблице 1 для формул 1.3 и 1.4 формулы прогиба по сути одинаковые и размер b. в формуле 1.4 ни как не отражен? 23-06-2016: Доктор Лом
При несимметричной нагрузке формула прогиба для расчетной схемы 1.4 будет достаточно громоздкой, но при этом следует помнить, что прогиб в любом случае будет меньше, чем при приложении симметричной нагрузки (конечно же при условии b 03-11-2016: vladimir
в таблице 1 для формул 1.3 и 1.4 формулы прогиба вместо Qa^3/24EI должно быть Ql^3/24EI. Долго не мог понять почему прогиб с кристаллом не сходится 03-11-2016: Доктор Лом
Все верно, еще одна опечатка из-за невнимательного редактирования (надеюсь, что последняя, но не факт). Исправил, спасибо за внимательность. 16-12-2016: иван
Здравствуйте, Доктор Лом. Вопрос следующий: просматривал фото со стройки и заметил одну вещь: Жб заводская перемычка 30*30 см примерно, оперта на трехслойную жб панель сантиметров на 7. (жб панель немного подпилили для опирания на нее перемычки). Проем под балконную раму 1,3 м, по верху перемычки армопояс и плиты перекрытия чердака. Критичны ли эти 7 см, опирание другого конца перемычки больше 30 см, все стоит нормально несколько лет уже 16-12-2016: Доктор Лом
Если есть еще и армопояс, то нагрузка на перемычку может значительно снизиться. Думаю, все будет нормально и там даже при 7 см достаточно большой запас по прочности на опорной площадке. Но вообще нужно конечно же считать. 25-12-2016: Иван
Доктор, а если предположить, ну чисто теоретически 25-12-2016: Доктор Лом
Думаю, даже в этом случае ничего не случится. Но повторю, для более точного ответа нужен расчет. 09-01-2017: Андрей
В таблице 1 в формуле 2.3 для вычисления прогиба вместо "q" указана "Q". Формула 2.1 для вычисления прогиба, являясь частным случаем формулы 2.3, при вобставлении воответствующих значений (a=c=l, b=0) приобретает другой вид. 09-01-2017: Доктор Лом
Все верно была опечатка, но теперь это не имеет значения. Формулу прогиба для такой расчетной схемы я брал из справочника Фесика С.П., как наиболее короткую для частного случая х = а. Но как вы правильно подметили - эта формула не проходит проверки на граничные условия, поэтому я ее вообще убрал. Оставил только формулу для определения начального угла поворота, чтобы упростить определение прогиба по методу начальных параметров. 02-03-2017: Доктор Лом
В учебных пособиях, насколько я знаю, такой частный случай не рассматривается. Тут поможет только программное обеспечение, например, Лира. 24-03-2017: Еагений
Добрый день в формуле прогиба 1.4 в первой таблице - значение в скобках всегда получаетсья отрицательным 24-03-2017: Доктор Лом
Все правильно, во всех приведенных формулах отрицательный знак в формуле прогиба означает, что балка прогибается вниз по оси у. 29-03-2017: Оксана
Добрый день, доктор лом. Не могли бы Вы написать статейку про крутящий момент в металлической балке - когда он вообще возникает, при каких расчётных схемах, ну и, конечно же, расчёт хотелось бы от Вас увидеть с примерами. У меня - мет балка шарнирно опёртая, один край консольный и на него приходит сосредоточенная нагрузка, а по всей балке распределённая от ж.б. тонкой плиты 100 мм и стены ограждения. Эта балка крайняя. С ж.б. плитой соединяется приваренными к балке с шагом 600 мм стержнями 6 мм. Не могу понять будет ли там крутящий момент, если да - то как его найти и рассчитать сечение балки в связи с ним? Доктор Лом
Виктор, эмоциональные поглаживания - это конечно хорошо, но их на хлеб не намажешь и семью ими не прокормишь. Для ответа на ваш вопрос требуются расчеты, расчеты - это время, а время - это не эмоциональные поглаживания. 13-11-2017: 1
В таблице 2, пример №1.1 ошибка в формуле для тэта(икс) 04-06-2019: Антон
Здравствуйте, уважаемый доктор у меня вопрос по методу начальных параметров. В начале статьи, у вас написано, что формулу прогиба балки можно получить - дважды должным образом проинтегрировав уравнение изгибающего момента, разделив результат на EI и добавив к этому результат интегрирования угла поворота. 05-06-2019: Доктор Лом
Ошибка в том, что вы проинтегрировали не уравнение моментов, а результат решения этого уравнения для точки посредине балки, а это разные вещи. Кроме того при сложении следует внимательно следить за знаком "+" или "-". Если вы внимательно проанализируете формулу прогиба, приводимую для данной расчетной схемы, то поймете о чем речь. А еще при интегрировании угла поворота результат q*l4/48, а не q*l4/96 и в окончательной формуле он будет идти с минусом, так как такой начальный угол поворота будет приводить к прогибу балку ниже оси х. 09-07-2019: Александр
Приветствую, в Т.1 2.3 формулы для моментов что принимается за X? Середина распределенной нагрузки? 09-07-2019: Доктор Лом
Для всех таблиц, расстояние х - это расстояние от точки начала координат (как правило опора А) до рассматриваемой точки на нейтральной оси балки. Т.е. приведенные формулы позволяют определить значение момента для любого поперечного сечения балки. Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой. Например, СНиП № 2.09.03-85
определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше - 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб. Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность. К сведению!
Чтобы реально представлять, почему так важно знать величину отклонения от первоначального положения, стоить понимать, что измерение величины прогиба является единственным доступным и достоверным способом определить состояние балки на практике. Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет. Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета. Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото. В нашем случае балка: Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ
, где Е
- справочная величина, R
— усилие, Δ
— величина деформации тела. Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е)
. Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е)
. Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже. Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е)
. Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил M max = q*L*2/8
, соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е)
. Величину b·h 2 /6
называют моментом инерции и обозначают W
. В итоге получается Δх = M·х/(W·Е)
основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E
через момент инерции и изгибающий момент. Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L 2 /8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления. Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h 3 /12, где b и h - размеры сечения балки. Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150. Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя. На практике чаще всего стоит обратная задача - определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии. Совет!
В вопросе расчета предельного состояния балки по величине прогиба неоценимую услугу оказывают требования СНиПа. Устанавливая предел прогиба в относительной величине, например, 1/250, строительные нормы существенно облегчают определение аварийного состояния балки или плиты. Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения. Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем: Вопрос - почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L 2 /(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия. Совет!
Используйте в своих расчетах существующие ведомственные сборники различных проектных организаций, в которых в сжатом виде сведены все необходимые формулы для определения и расчета предельного нагруженного состояния. Аналогичным образом поступает большинство разработчиков и проектантов серьезных построек. Программа - это хорошо, она помогает очень быстро выполнить расчет прогиба и основных параметров нагружения перекрытия, но важно также предоставить заказчику документальное подтверждение полученных результатов в виде конкретных последовательных расчетов на бумаге. Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.12), требуется: построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов , подобрать балку круглого поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и проверить прочность балки по касательным напряжениям при допускаемом касательном напряжении кН/см2. Размеры балки м; м; м. Горизонтальная реакция в заделке равна нулю, поскольку внешние нагрузки в направлении оси z на балку не действуют. Выбираем направления остальных реактивных усилий, возникающих в заделке: вертикальную реакцию направим, например, вниз, а момент – по ходу часовой стрелки. Их значения определяем из уравнений статики: Составляя эти уравнения, считаем момент положительным при вращении против хода часовой стрелки, а проекцию силы положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением оси y. Из первого уравнения находим момент в заделке : Из второго уравнения – вертикальную реакцию : Полученные нами положительные значения для момента и вертикальной реакции в заделке свидетельствуют о том, что мы угадали их направления. В соответствии с характером закрепления и нагружения балки, разбиваем ее длину на два участка. По границам каждого из этих участков наметим четыре поперечных сечения (см. рис. 3.12), в которых мы и будем методом сечений (РОЗУ) вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов. Сечение 1.
Отбросим мысленно правую часть балки. Заменим ее действие на оставшуюся левую часть перерезывающей силой и изгибающим моментом . Для удобства вычисления их значений закроем отброшенную нами правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением. Напомним, что перерезывающая сила, возникающая в любом поперечном сечении, должна уравновесить все внешние силы (активные и реактивные), которые действуют на рассматриваемую (то есть видимую) нами часть балки. Поэтому перерезывающая сила должна быть равна алгебраической сумме всех сил, которые мы видим. Приведем и правило знаков для перерезывающей силы: внешняя сила, действующая на рассматриваемую часть балки и стремящаяся «повернуть» эту часть относительно сечения по ходу часовой стрелки, вызывает в сечении положительную перерезывающую силу. Такая внешняя сила входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс». В нашем случае мы видим только реакцию опоры , которая вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (относительно края листка бумаги) против хода часовой стрелки. Поэтому Изгибающий момент в любом сечении должен уравновесить момент, создаваемый видимыми нами внешними усилиями, относительно рассматриваемого сечения. Следовательно, он равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые действуют на рассматриваемую нами часть балки, относительно рассматриваемого сечения (иными словами, относительно края листка бумаги). При этом внешняя нагрузка, изгибающая рассматриваемую часть балки выпуклостью вниз, вызывает в сечении положительный изгибающий момент. И момент, создаваемый такой нагрузкой, входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс». Мы видим два усилия: реакцию и момент в заделке . Однако у силы плечо относительно сечения 1 равно нулю. Поэтому Знак «плюс» нами взят потому, что реактивный момент изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз. Сечение 2.
По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь, в отличие от первого сечения, у силы появилось плечо: м. Поэтому Сечение 3.
Закрывая правую часть балки, найдем Сечение 4.
Закроем листком левую часть балки. Тогда По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.12, б) и изгибающих моментов (рис. 3.12, в). Под незагруженными участками эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклонной прямой вверх. Под опорной реакцией на эпюре имеется скачок вниз на величину этой реакции, то есть на 40 кН. На эпюре изгибающих моментов мы видим излом под опорной реакцией . Угол излома направлен навстречу реакции опоры. Под распределенной нагрузкой q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы в этом месте проходит здесь через нулевое значение. Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид: где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балки круглого поперечного сечения он равен: Наибольший по абсолютному значению изгибающий момент возникает в третьем сечении балки: Тогда требуемый диаметр балки определяется по формуле Принимаем мм. Тогда «Перенапряжение» составляет что допускается. Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении балки круглого сечения, вычисляются по формуле где – площадь поперечного сечения. Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы равно то есть условие прочности и по касательным напряжениям выполняется, причем, с большим запасом. Для шарнирно опертой балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м, сосредоточенной силой кН и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.13), требуется построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов и подобрать балку двутаврового поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и допускаемом касательном напряжении кН/см2. Пролет балки м. Рис. 3.13 Для заданной шарнирно опертой балки необходимо найти три опорные реакции: , и . Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки, перпендикулярные к ее оси, горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры A равна нулю: . Направления вертикальных реакций и выбираем произвольно. Направим, например, обе вертикальные реакции вверх. Для вычисления их значений составим два уравнения статики: Напомним, что равнодействующая погонной нагрузки , равномерно распределенной на участке длиной l, равна , то есть равна площади эпюры этой нагрузки и приложена она в центре тяжести этой эпюры, то есть посредине длины. Делаем проверку: . Напомним, что силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются (проецируются) на эту ось со знаком плюс: то есть верно. Разбиваем длину балки на отдельные участки. Границами этих участков являются точки приложения сосредоточенных усилий (активных и/или реактивных), а также точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки. Таких участков в нашей задаче получается три. По границам этих участков наметим шесть поперечных сечений, в которых мы и будем вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов (рис. 3.13, а). Сечение 1.
Отбросим мысленно правую часть балки. Для удобства вычисления перерезывающей силы и изгибающего момента , возникающих в этом сечении, закроем отброшенную нами часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка бумаги с самим сечением. Перерезывающая сила в сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), которые мы видим. В данном случае мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому Знак «плюс» взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (края листка бумаги) по ходу часовой стрелки. Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим, относительно рассматриваемого сечения (то есть относительно края листка бумаги). Мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Однако у силы плечо равно нулю. Равнодействующая погонной нагрузки также равна нулю. Поэтому Сечение 2.
По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь мы видим реакцию и нагрузку q, действующую на участке длиной . Равнодействующая погонной нагрузки равна . Она приложена посредине участка длиной . Поэтому Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой). Сечение 3.
Закроем правую часть. Получим Сечение 4.
Закрываем листком правую часть балки. Тогда Теперь, для контроля правильности вычислений, закроем листком бумаги левую часть балки. Мы видим сосредоточенную силу P, реакцию правой опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому То есть все верно. Сечение 5.
По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь Сечение 6.
Опять закроем левую часть балки. Получим По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.13, б) и изгибающих моментов (рис. 3.13, в). Убеждаемся в том, что под незагруженным участком эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по прямой, имеющей наклон вниз. На эпюре имеется три скачка: под реакцией – вверх на 37,5 кН, под реакцией – вверх на 132,5 кН и под силой P – вниз на 50 кН. На эпюре изгибающих моментов мы видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой интенсивностью q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. Под сосредоточенным моментом – скачок на 60 кН ·м, то есть на величину самого момента. В сечении 7 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы для этого сечения проходит через нулевое значение (). Определим расстояние от сечения 7 до левой опоры. 1.1. Основные зависимости теории изгиба балок
Балками
принято называть стержни, работающие на изгиб под действием
поперечной (нормальной к оси стержня) нагрузки. Балки – наиболее
распространенные элементы судовых конструкций. Ось балки – геометрическое
место центров тяжести ее поперечных сечений в недеформированном состоянии.
Балка называется прямой, если осью является прямая линия. Геометрическое
место центров тяжести поперечных сечений балки в изогнутом состоянии
называется упругой линией балки. Принято следующее направление осей
координат: ось OX
совмещена
с осью балки, а оси OY
и OZ
– с
главными центральными осями инерции поперечного сечения (рис. 1.1). Теория изгиба балок основывается на следующих
допущениях. 1. Принимается гипотеза плоских сечений, согласно
которой поперечные сечения балки, первоначально плоские и нормальные к оси
балки, остаются после ее изгиба плоскими и нормальными к упругой линии балки.
Благодаря этому деформацию изгиба балки можно рассматривать независимо от
деформации сдвига, которая вызывает искажение плоскостей поперечных сечений
балки и их поворот относительно упругой линии (рис. 1.2, а
). 2. Нормальными напряжениями в площадках,
параллельных оси балки, пренебрегают из-заих малости (рис. 1.2, б
). 3. Балки считаются достаточно жесткими, т.е.
прогибы их малы по сравнению с высотой балок, а углы поворота сечений малы по
сравнению с единицей (рис.1.2, в
). 4. Напряжения и деформации связаны линейной
зависимостью, т.е. справедлив закон Гука (рис. 1.2, г
). Рис. 1.2.
Допущения теории изгиба балок Будем рассматривать появляющиеся при изгибе балки в ее сечении изгибающие
моменты и перерезывающие силы как результат действия мысленно отбрасываемой
по сечению части балки на оставшуюся ее часть. Момент всех действующих в сечении усилий относительно однойиз
главных осей называется изгибающим моментом. Изгибающий момент равен сумме
моментов всех сил (включая опорные реакции и моменты), действующих на
отброшенную часть балки, относительно указанной оси рассматриваемого сечения. Проекция на плоскость сечения
главного вектора усилий, действующих в сечении, называется перерезывающей
силой. Она равна сумме проекций наплоскость сечения всех сил (включая опорные реакции), действующих на
отброшенную часть балки
. Ограничимся рассмотрением изгиба балки, происходящего в плоскости XOZ
.
Такой
изгиб будет иметь место в случае, когда поперечная нагрузка действует в
плоскости, параллельной плоскости XOZ
, а ее
равнодействующая в каждом сечении проходит через точку, называемую центром
изгиба сечения. Заметим, что для сечений балок,имеющих две осисимметрии, центр изгиба совпадает с центром
тяжести, а для сечений, имеющих одну ось симметрии, он лежит на осисимметрии, но не совпадает с центром
тяжести. Нагрузка входящих в состав судового корпуса балок может быть либо
распределенной (чаще всего равномерно распределенной вдоль оси балки, или
изменяющейся по линейному закону), либо приложенной в виде сосредоточенных
сил и моментов. Обозначим интенсивность распределенной нагрузки
(нагрузку, приходящуюся на единицу длины оси балки) через q
(x
), внешнюю сосредоточенную силу –
как Р
, а
внешний изгибающий момент – как М
.
Распределенная нагрузка и сосредоточенная сила положительны, если направления
их действия совпадают с положительным направлением оси OZ
(рис. 1.3,а
,б
). Внешний изгибающий момент положителен, если он направлен по
часовой стрелке (рис.1.3,в
). Рис. 1.3. Правило знаков для внешних
нагрузок Обозначим прогиб прямой балки при ее изгибе в плоскости XOZ
через w
, а угол поворота
сечения – через θ.
Примем правило знаков для
элементов изгиба (рис. 1.4): 1) прогиб положителен, если он совпадает с положительным направлением
оси OZ
(рис. 1.4, а
): 2) угол поворота сечения положителен, если в результате изгиба сечение
поворачивается по часовой стрелке (рис. 1.4, б
); 3) изгибающие моменты положительны, если балка под их воздействием
изгибается выпуклостью вверх (рис. 1.4, в
); 4) перерезывающие силы положительны, если они поворачивают выделенный
элемент балки против часовой стрелки (рис. 1.4, г
). Рис. 1.4.
Правило знаков для элементов изгиба На основании гипотезы плоских сечений можно видеть
(рис. 1.5), что относительное удлинение волокна ε
x
, отстоящего на z
от
нейтральной оси, будет равно ε
x
= −z
/ρ
,(1.1) где ρ
– радиус кривизны балки в
рассматриваемом сечении. Рис. 1.5. Схема изгиба балки Нейтральной осью поперечного сечения называется геометрическое место
точек, для которых линейная деформация при изгибе равна нулю. Между кривизной
и производными от w
(x
)
существует зависимость В силу принятого допущения о
малости углов поворота для достаточно жестких балок величина
мала по сравнению с единицей
, поэтому можно считать, что Подставив 1/ρ
из (1.2) в (1.1), получим Нормальные напряжения от изгиба σ
x
на основании закона Гука
будут равны Поскольку из определения балок следует, что
продольное усилие, направленное вдоль оси балки, отсутствует, главный вектор
нормальных напряжений должен обращаться в нуль, т.е. где F
– площадь поперечного сечения
балки. Из (1.5) получим, что статический момент площади сечения балки равен
нулю. Это значит, что нейтральная ось сечения проходит через его центр тяжести. Момент внутренних усилий, действующих в поперечном сечении относительно
нейтральной оси, M y
будет Если учесть, что момент инерции площади сечения относительно
нейтральной оси OY
равен ,
и подставить это значение в (1.6), то получим зависимость, которая выражает
основное дифференциальное уравнение изгиба балки Момент внутреннихусилий в
сечении относительно оси OZ
будет Поскольку оси OY
и OZ
по условию являются главными
центральными осями сечения, то Отсюда следует, что при действии нагрузки в
плоскости, параллельной главной плоскости изгиба, упругая линия балки будет
плоской кривой. Такой изгиб называется плоским
.
На основании зависимостей (1.4) и (1.7) получим Формула (1.8) показывает, что нормальные напряжения при изгибе балок
пропорциональны отстоянию
от нейтральной оси балки.
Естественно, что это вытекаетиз
гипотезы плоских сечений. В практических расчетах для определения наибольших
нормальных напряжений часто используют момент сопротивления сечения балки где |z
| max
–
абсолютное значение отстояния
наиболее удаленного
волокна от нейтральной оси.
В дальнейшем нижние индексы y
для
упрощения опущены. Между изгибающим моментом, перерезывающей силой и интенсивностью
поперечной нагрузки существует связь, вытекающая из условия равновесия
элемента, мысленно выделенного из балки. Рассмотрим элемент балки длиной dx
(рис. 1.6). Здесь принимается, что деформации элемента пренебрежимо
малы. Если в левом сечении элемента действует момент M
и перерезывающая сила N
, то в правом его
сечении соответствующие усилия будут иметь приращения. Рассмотрим только
линейные приращения Рис.1.6.
Усилия, действующие на элемент балки Приравняв нулю проекцию на ось OZ
всех усилий,
действующих на элемент, и момент всех усилий относительно нейтральной оси
правого сечения, получим: Из этих
уравнений с точностью до величин высшего порядка малости получим Из (1.11) и (1.12) следует, что Зависимости (1.11)–(1.13) известны под названием теоремы Журавского–Шведлера
.Из этих зависимостей следует, что
перерезывающая сила и изгибающий момент могут быть определены путем интегрирования
нагрузки q
: где
N
0
и
M
0
– перерезывающая сила и изгибающий момент в сечении, соответствующем
x
=
x
0
, которое
принимается за начало отсчета; ξ,
ξ 1 – переменные интегрирования
. Постоянные N
0
и M
0
для статически определимых балок
могут быть определены из условий их статического равновесия. Если балка статически определимая, изгибающий момент влюбом
сечении может быть найден по (1.14), и упругая линия определяется путем
двукратного интегрирования дифференциального уравнения (1.7). Однако в
конструкциях судового корпуса статически определимые балки встречаются крайне
редко. Большинство балок, входящих в состав судовых конструкций, образует
многократно статически неопределимые системы. В этих случаях для определения
упругой линии уравнение (1.7) является неудобным, и целесообразно перейти к
уравнению четвертого порядка. 1.2.
Дифференциальное уравнение изгиба балок
Дифференцируя уравнение (1.7) для общего случая, когда
момент инерции сечения является функцией от x
, с
учетом (1.11) и (1.12) получим: где штрихами обозначено дифференцирование по x
. Для призматических балок, т.е. балок постоянного
сечения, получим следующие дифференциальные уравнения изгиба: Обыкновенное неоднородное линейное дифференциальное
уравнение четвертого порядка (1.18) можно представить в виде совокупности
четырех дифференциальных уравнений первого порядка: Используем далееу
равнение (1.18) или систему уравнений (1.19) для определения прогиба
балки (ее упругой линии) и всех неизвестных элементов изгиба: w
(x
), θ
(x
), M
(x
), N
(x
). Интегрируя
(1.18) последовательно 4 раза (считая, чтолевому концу балки
соответствует сечение
x
=
x a
),
получим:
Нетрудно видеть, что постоянные интегрирования N a
,
M a
,
θ a
,
w a
имеют
определенный физический смысл, а именно: N a
– перерезывающая сила в начале отсчета, т.е. при x
=
x a
; M a
– изгибающий момент в начале отсчета; θ a
– угол поворота в начале отсчета; w a
– прогиб в этом же сечении. Для определения указанных постоянных всегда можно составить четыре
граничных условия – по два для каждого конца однопролетной балки.
Естественно, что граничные условия зависят от устройства концов балки.
Простейшие условия соответствуют шарнирному
опиранию
на жесткие опоры или жесткой заделке. При
шарнирном опирании
конца балки на жесткой опоре (рис. 1.7, а
) прогиб балки и изгибающий момент равны нулю: При жесткой заделке на жесткой опоре (рис. 1.7, б
) равны нулю прогиб и угол поворота
сечения: Если конец балки (консоль) свободен (рис. 1.7, в
), то в этом сечении равны нулю
изгибающий момент и перерезывающая сила: Возможна ситуация, связанная со скользящей заделкой
или заделкой по симметрии (рис. 1.7, г
). Это приводит к таким граничным условиям: Заметим, что граничные условия (1.26), касающиеся
прогибов и углов поворота, принято называть кинематическими
, а условия (1.27) – силовыми
. Рис. 1.7.
Виды граничных условий В судовых конструкциях часто приходится иметь дело с более сложными
граничными условиями, которые соответствуют опиранию
балки на упругие опоры или упругой заделке концов. Упругой опорой (рис. 1.8, а
)
называется опора,имеющая просадку, пропорциональную действующей на
опору реакции. Будем считать реакцию упругой опоры R
положительной, если она действует на опору в сторону положительного
направления оси OZ
. Тогда можно записать: w
=
AR
,(1.29) где A
– коэффициент пропорциональности,
называемый коэффициентом податливости упругой опоры. Этот коэффициент равен просадке упругой опоры при действии реакции R
=
1, т.е. A
=
w R
=
1 . Упругими опорами в судовых конструкциях могут быть балки,
подкрепляющиерассматриваемую балку,
или пиллерсы и другие конструкции, работающие на сжатие. Для определения коэффициента податливости упругой опоры A
необходимо загрузить
соответствующую конструкцию единичной силой и найти абсолютную величину
просадки (прогиб) в месте приложения силы. Жесткая опора – частный случай
упругой опоры при A
=
0. Упругой заделкой (рис. 1.8, б
) называется такая опорная конструкция, которая препятствует свободному
повороту сечения и в которой угол поворота θ
в
этом сечении пропорционален моменту, т.е. имеетместо зависимость θ
=Â
M
.(1.30) Множитель пропорциональности Â
называется коэффициентом податливости упругой заделки и может быть определен,
как угол поворота упругой заделки при M
=
1, т.е. Â
=
θ
M
=
1 . Частным случаем упругой заделки при Â
=
0 является
жесткая заделка. В судовых конструкциях упругими заделками
обычно являются балки, нормальные к рассматриваемой и лежащие в этой же
плоскости.
Например, упруго заделанными на шпангоутах можно считать
бимсы и т.п. Рис. 1.8. Упругая опора (а
) и упругая заделка (б
) Если концы балки длиной L
оперты на упругие опоры (рис. 1.9), то реакции опор в
концевых сечениях равны перерезывающим силам, и граничные условия можно
записать: Знак минус в первом условии (1.31) принят потому, что
положительная перерезывающая сила в левом опорном сечении соответствует
реакции, действующей на балку сверху вниз, а на опору – снизу вверх. Если концы балки длиной L
упругозаделанные
(рис. 1.9), то для опорных сечений,
учитывая правило знаков для углов поворота и изгибающих моментов, можно
записать: Знак минус во втором условии (1.32) принят потому,
что при положительном моменте в правом опорном сечении балки момент,
действующий на упругую заделку, направлен против
часовой
стрелки, а положительный угол поворота в этом
сечении направлен по часовой стрелке, т.е. направления момента и угла
поворота не совпадают. Рассмотрение дифференциального уравнения (1.18) и всех граничных
условий показывает, что они линейны относительно как входящих в них прогибов
и их производных, так и действующих на балку нагрузок. Линейность является
следствием допущений о справедливости закона Гука и малости прогибов балки. Рис. 1.9.
Балка, оба конца которой упруго оперты и упруго заделаны (а
); усилия
в упругих опорах и упругих заделках, соответствующие положительным При действии на балку нескольких нагрузок каждый
элемент изгиба балки (прогиб, угол поворота, момент и перерезывающая сила)
представляет собой сумму элементов изгиба от действия каждой из нагрузок в
отдельности. Это очень важное положение, называемое принципом наложения, или
принципом суммирования действия нагрузок, широко используется в практических
расчетах и, в частности, для раскрытия статической неопределимости балок. 1.3. Метод
начальных параметров
Общий интеграл дифференциального уравнения изгиба балки может быть
использован для определения упругой линии однопролетной балки в том случае,
когда нагрузка балки представляет собой непрерывную функцию координаты на протяжении всего пролета. Если в составе
нагрузки встречаются сосредоточенные силы, моменты или распределенная нагрузка
действует на части длины балки (рис. 1.10), то непосредственно
использовать выражение (1.24) нельзя. В этом случае можно было бы, обозначив
упругие линии на участках 1, 2 и 3 через w
1 , w
2 , w
3 ,
выписать для каждойиз них интеграл в виде (1.24) и найти все
произвольные постоянные из граничных условий на концах балки и условий
сопряжения на границах участков. Условия сопряжения в рассматриваемом случае
выражаются так: при x=a
1
при x=a
2
при x=a
3
Нетрудно заметить, что такой путь решения задачи
приводит к большому числу произвольных постоянных, равному 4n
, где n
– число участков по
длине балки.
Рис. 1.10. Балка, на отдельных участках которой
приложены нагрузки разных типов Значительно удобнее представить упругую линию балки в виде где члены за
двойной чертой учитываются при x
³
a
1, x
³
a
2 и т.д. Очевидно, что δ 1 w
(x
)=w
2 (x
)−w
1 (x
); δ 2 w
(x
)=w
3 (x
)−w
2 (x
); и т.д. Дифференциальные уравнения для определения поправок к упругой линии δ i
w
(x
) на основании (1.18)
и (1.32) можно записать в виде Общий интеграл для любой поправки δ i
w
(x
) к упругой линии может быть записан в виде (1.24) при x a
=
a i
. При этом параметры N a
,
M a
,
θ a
,
w a
имеют смысл
изменения (скачка) соответственно: в перерезывающей силе, изгибающем моменте,
угле поворота и стрелке прогиба при переходе через сечение x
=
a i
.
Такой прием называется методом начальных параметров. Можно показать, чтодля
балки, приведенной на рис. 1.10, уравнение упругой линии будет Таким образом, метод начальных параметров дает возможность и при
наличии разрывности в нагрузках записать уравнение упругой линии в виде,
содержащем лишь четыре произвольных постоянных N
0 ,
M
0 ,
θ
0 ,
w
0 , которые
определяются из граничных условий по концам балки. Заметим, что для большого числа вариантов встречающихся на практике
однопролетных балок составлены подробные таблицы изгиба, которые позволяют
легко найти прогибы, углы поворота и другие элементы изгиба. 1.4.
Определение касательных напряжений при изгибе балок
Принятая в теории изгиба балок гипотеза плоских сечений приводит к
тому, что деформация сдвига в сечении балки оказывается равной нулю, и мы неимеем возможности, используя закон Гука, определить касательные
напряжения. Однако поскольку в общем случае в сечениях балки действуют
перерезывающие силы, то должны возникать соответствующие им касательные
напряжения. Это противоречие (которое является следствием принятой гипотезы
плоских сечений) можно обойти, рассматривая условия равновесия. Будем
считать, что при изгибе балки, составленной из тонких полос, касательные
напряжения в поперечном сечении каждой из этих полос равномерно распределены
по толщине и направлены параллельно длинным сторонам ее контура. Это
положение практически подтверждается точными решениями теории упругости.
Рассмотрим балку открытого тонкостенного двутаврового профиля. На
рис. 1.11 показано положительное направление касательных напряжений в
поясках и стенке профиля при изгибе в плоскости стенки балки. Выделим
продольным сечением I
-
I
и двумя
поперечными сечениями элемент длиной dx
(рис. 1.12). Обозначим касательное напряжение в указанном продольном сечении через τ,
а нормальные усилия в начальном поперечном
сечении через T
. Нормальные усилия в конечном
сечении будут иметь приращения. Рассмотрим только линейные приращения, тогда . Рис. 1.12.
Продольные усилия и касательные напряжения Условие статического равновесия выделенногоиз балки элемента
(равенство нулю проекций усилий на ось OX
) будет где ;
f
– площадь части профиля, отсеченного линией I
–
I
; δ–
толщина профиля в месте сечения. Из (1.36) следует: Поскольку нормальные напряжения σ
x
определяются формулой (1.8), то При этом мы полагаем, что балка имеет постоянное по длине сечение.
Статический момент части профиля (отсеченной линией I
–
I
) относительно нейтральной оси сечения балки OY
является интегралом Тогда из (1.37) для абсолютной величины напряжений получим: Естественно, что полученная формула для определения касательных
напряжений справедлива и для любого продольного сечения, например II
–
II
(см. рис. 1.11), и статический
момент S
отс
вычисляется для отсеченной части площади
профиля балки относительно нейтральной оси без учета знака. Формула (1.38) по смыслу проведенного вывода определяет касательные
напряжения в продольных сечениях балки. Из теоремы о парности касательных
напряжений, известной из курса сопротивления материалов, следует, что такие
же касательные напряжения действуют в соответствующих точках поперечного
сечения балки. Естественно, что проекция главного вектора касательных
напряжений на ось OZ
должна быть равна
перерезывающей силе N
в данном
сечении балки. Поскольку в поясках балки такого типа, как показано на
рис. 1.11, касательные напряжения направлены по оси OY
, т.е.
нормально к плоскости действия нагрузки, и являются в целом уравновешенными,
перерезывающая сила должна уравновешиваться касательными напряжениями в
стенке балки. Распределение касательных напряжений по высоте стенки следует
закону изменения статического момента S
отс
отсеченной части площади относительно
нейтральной оси (при постоянной толщине стенки δ
). Рассмотрим симметричное сечение двутавровой балки с площадью пояска F
1 и площадью стенки ω
=
hδ
(рис. 1.13). Рис. 1.13.
Сечение двутавровой балки Статический момент отсеченной части площади для точки, отстоящей на z
от нейтральной оси, будет Как видно из зависимости (1.39), статическиймомент изменяется с
z
по закону квадратичной параболы.
Наибольшее значение S
отс
,
а
следовательно, и касательных напряжений τ,
получится у нейтральной оси, где z
=
0: Наибольшее касательное напряжениев стенке балки у нейтральной
оси Поскольку момент инерции сечения рассматриваемой балки равен то наибольшее касательное
напряжение будет Отношение N
/ω
есть не что иное, как среднее касательное напряжение в стенке, вычисленное в
предположенииравномерного распределения напряжений. Принимая, например,
ω
= 2F
1 , по
формуле (1.41) получим Таким образом, у рассматриваемой балки наибольшее
касательное напряжение в стенке у нейтральной оси лишь на 12,5%
превышает среднее значение
этих напряжений. Следует отметить, что у большинства профилей балок,
применяемых в судовом корпусе, превышение максимальных касательных напряжений
над средними
составляет 10–15%. Если рассмотреть распределение касательных
напряжений при изгибе в сечении балки, показанной на рис. 1.14, то можно
видеть, что они образуют момент относительно центра тяжести сечения. В общем
случае изгиб такой балки в плоскости XOZ
будет
сопровождаться закручиванием. Изгиб балки не сопровождается закручиванием, если нагрузка
будет действовать в плоскости, параллельной XOZ
,
проходящей через точку, называемую центром изгиба. Эта точка характеризуетсятем, что момент всех касательных усилий в сечении балки относительно нее
равен нулю. Рис. 1.14. Касательные напряжения
при изгибе швеллерной балки (точка А
– центр изгиба) Обозначив отстояние
центра изгиба А
от оси стенки балки через е
,
запишем условие равенства нулю моментакасательных усилий относительно точки А
: где Q
2 – касательное усилие в стенке, равное
перерезывающей силе, т.е. Q
2 =N
; Q
1 =Q
3 – усилие
в пояске, определяемое на основании (1.38) зависимостью Деформация сдвига (или угол сдвига) γ
изменяется по высоте стенки балки так же, как и
касательные напряжения τ,
достигая наибольшей величины у нейтральной оси. Как было показано, у балок с поясками изменение касательных напряжений
по высоте стенки весьма незначительно. Это позволяет в дальнейшем
рассматривать некоторый средний угол сдвига в стенке балки Деформация сдвига приводит к тому, что прямой угол между плоскостью поперечного
сечения балки и касательной к упругой линии изменяется на величину γ ср
.
Упрощенная
схема деформации сдвига элемента балки показана на рис. 1.15. Рис. 1.15. Схема деформации сдвига элемента балки Обозначив стрелку прогиба, вызванную сдвигом через w
сдв
, можно
записать: С
учетом правила знаков для перерезывающей силы N
и угла
поворота найдем Поскольку , Интегрируя (1.47), получим Постоянная a
, входящая в (1.48), определяет
перемещение балки как твердого тела и может быть принята равной любой
величине, так как при определении суммарной стрелки прогиба от изгиба w
изг
и сдвига w
сдв
появится сумма постоянных интегрирования w
0 +a
, определяемая из граничных условий.
Здесь w
0 – прогиб от изгиба в начале координат. Положим в дальнейшем a
=0. Тогда окончательно выражение
для упругой линии, вызванной сдвигом, примет вид Изгибная и сдвиговая составляющие упругой линии
показаны на рис. 1.16. Рис. 1.16.
Изгибная (а
) и сдвиговая (б
) составляющие упругой линии балки В рассмотренном случае угол поворота сечений при сдвиге равен нулю,
поэтому и с учетом сдвига углы поворота сечений, изгибающие моменты и перерезывающие
силы связаны только с производными упругой линии от изгиба: Несколько иначе обстоит дело в случае действия на балку сосредоточенных
моментов, которые, как будет показано ниже, не вызывают прогибов от сдвига, а
приводят лишь к дополнительному повороту сечений балки. Рассмотрим свободно опертую на жесткие опоры балку, в левом сечении
которой действует момент М
. Перерезывающая сила в этом случае будет
постоянной и
равной Для правого опорного сечения
соответственно получим .(1.52) Выражения (1.51)и (1.52) можно переписать в виде Выражения в круглых скобках характеризуют относительную добавку к углу
поворота сечения, вызванную сдвигом. Если рассмотреть, например, свободно опертую балку,
загруженную посередине ее пролета силой Р
(рис. 1.18), то прогиб
балки под силой будет равен Прогиб от изгиба можно найти по
таблицам изгиба балок. Прогиб от сдвига определяется по формуле (1.50) с
учетом того, что Рис. 1.18. Схема свободно опертой балки,
загруженной сосредоточенной силой Как видно из формулы (1.55), относительная добавка
к прогибу балки за счет сдвига имеет такую же структуру, что и относительная
добавка к углу поворота, но с другим численным коэффициентом. Введем обозначение где β
– численный
коэффициент, зависящий от рассматриваемой конкретной задачи, устройства опор
и нагрузки балки.
Проанализируем зависимость
коэффициента k
от различных факторов. Если учесть, что ,
получим вместо (1.56) Момент инерции сечения балки всегда может быть представлен в виде ,(1.58) где α
– численный коэффициент, зависящий от формы и
характеристик поперечного сечения. Так, для балки двутаврового профиля по
формуле (1.40) при ω
=2F
1
найдем I
=
ωh
2 /3, т.е. α
=1/3. Заметим, что с ростом размеров поясков балки коэффициент α
будет увеличиваться. С учетом (1.58) вместо (1.57) можно записать: Таким образом, значение коэффициента k
существенно зависит от отношения
длины пролета балки к ее высоте, от формы сечения (через коэффициент α
), устройства опор и нагрузки балки (через
коэффициент β
). Чем относительно длиннее балка
(h
/
L
мало),
тем меньше влияние деформации сдвига. Для балок прокатного профиля, имеющих
отношение h
/
L
меньше 1/10÷1/8,
поправка на сдвиг практически может не учитываться. Однако для балок с широкими поясками, таких,
например, как киль, стрингеры и флоры в составе днищевых перекрытий влияние
сдвига и при
указанных h
/
L
может оказаться значительным. Следует отметить, что деформации сдвига оказывают
влияние не только на увеличение прогибов балок, но в некоторых случаях и на
результаты раскрытия статической неопределимости балок и балочных систем. Изгибом
называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения. Изгиб называется чистым
, если в любом поперечном сечении балки возникает только один изгибающий момент. Изгиб, при котором в поперечном сечении балки одновременно действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным
. Линия пересечения силовой плоскости и плоскости поперечного сечения называется силовой линией
. При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Правило знаков для поперечных сил Q: Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Правило знаков для изгибающих моментов M: Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости: На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М: Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе. 1.
На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией
, параллельной базе эпюре, а эпюра М - наклонной прямой (рис. а). 2.
В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть скачок
, равный значению этой силы, а на эпюре М -точка перелома
(рис. а). 3.
В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок
, равный значению этого момента, (рис. 26, б). 4.
На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М - по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки
(рис. в, г). 5.
Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение M max или M min (рис. г). Определяются по формуле: Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина: Опасным сечением
при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Определяются по формуле Журавского
для касательных напряжений при прямом изгибе балки: где S отс - статический момент поперечной площади отсеченного слоя продольных волокон относительно нейтральной линии. 1.
При проверочном расчете
определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением: 2.
При проектном расчете
подбор сечения бруса производится из условия: 3.
При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия: Под действием нагрузки при изгибе ось балки искривляется. При этом наблюдается растяжение волокон на выпуклой и сжатие - на вогнутой частях балки. Кроме того, происходит вертикальное перемещение центров тяжести поперечных сечений и их поворот относительно нейтральной оси. Для характеристики деформации при изгибе используют следующие понятия: Прогиб балки Y
- перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси. Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z) Угол поворота сечения
- угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота считают положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки. Величина угла поворота меняется по длине балки, являясь функцией θ = θ (z). Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора
и правило Верещагина
. Порядок определения перемещений по методу Мора: 1.
Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент. 2.
Для каждого участка системы записываются выражения изгибающих моментов М f от приложенной нагрузки и М 1 - от единичной нагрузки. 3.
По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение: 4.
Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы. Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки
имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина. где A f – площадь эпюры изгибающего момента М f от заданной нагрузки; y c – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М f ; EI x – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (A f *y c) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра М f должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое "расслоение эпюры"), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.
Вы имеете в виду, что для вращающихся валов схемы будут другие из-за вращательного момента? Не знаю на сколько это важно, так как в книге по техмашу написано, что в случае токарной обработки, прогиб, вносимый вращательным моментом на валу, очень мал по сравнению с прогибом от радиальной составляющей силы резания. Что думаете?
Расчет строительных конструкций, деталей машин и т.п., как правило состоит из двух этапов: 1. расчет по предельным состояниям первой группы - так называемый расчет на прочность, 2. расчет по предельным состояниям второй группы. Одним из видов расчета по предельным состояниям второй группы является расчет на прогиб.
В вашем случае на мой взгляд более важным будет расчет на прочность. Более того на сегодняшний день существуют 4 теории прочности и расчет по каждой из этих теорий - разный, но во всех теориях при расчете учитывается влияние как изгибающего так и крутящего момента.
Прогиб при действии крутящего момента происходит в другой плоскости, но все равно при расчетах учитывается. А уж малый этот прогиб или большой - расчет покажет.
Я не специализируюсь на расчетах деталей машин и механизмов и потому авторитетную литературу по этому вопросу указать не смогу. Впрочем, в любом справочнике инженера-конструктора узлов и деталей машин эта тема должна быть должным образом раскрыта.
mail: [email protected]
Skype: dmytrocx75
Q - в килограммах.
l - в сантиметрах.
E - в кгс/см2.
I - см4.
Все верно? Что-то странные результаты получаются.
Если речь идет о ростверке, то в зависимости от способа его устойства, он может рассчитываться как балка на двух опорах, или как балка на упругом основании.
Вообще при расчете столбчатых фундаментов следует руководствоваться требованиями СНиП 2.03.01-84.
Кроме того, если нагрузка на фундамент передается от внецентренно нагруженной колонны или не только от колонны, то на подушку будет действовать дополнительный момент. При расчетах это следует учитывать.
Но еще раз повторю, не занимайтесь самолечением, руководствуйтесь требованиями указанного СНиПа.
Однако в указанных вами случаях (кроме 1.3) максимальный прогиб может быть не посредине балки, потому определение расстояния от начала балки до сечения, где будет максимальный прогиб - отдельная задача. Недавно подобный вопрос обсуждался в теме "Расчетные схемы для статически неопределимых балок", посмотрите там.
Суть проблемы такова: в основании дивана планируется металлическая рама из профилированной трубы 40х40 или 40х60, лежащая на двух опорах расстояние между которыми 2200 мм. ВОПРОС: хватит ли сечения профиля при нагрузках от собственного веса дивана + возьмем 3 человека по 100 кг???
Жестко закрепленная балка, пролет 4 м, опирание по 0,2 м. Нагрузки: распределенная 100 кг/м по балке, плюс распределенная 100 кг/м на участке 0-2 м, плюс сосредоточенная 300 кг посредине (на 2 м). Определил опорные реакции: А – 0,5 т; В – 0,4 т. Дальше я завис: для определения изгибающего момента под сосредоточенной нагрузкой необходимо посчитать сумму моментов всех сил справа и слева от нее. Плюс появляется момент на опорах.
Как считаются нагрузки в этом случае? Надо привести все распределенные нагрузки к сосредоточенным и суммировать (вычесть из опорной реакции * расстояние) согласно формул расчетной схемы? В Вашей статье про фермы раскладка всех сил понятна, а здесь я не могу въехать в методику определения действующих сил.
Максимальный момент посредине, получается M=Q+2q+от несимметричной нагрузки по максимуму 1,125q. Т.е. я сложил все 3 нагрузки, это правильно?
Если не готовы все это осилить, то лучше обратитесь к профессиональному проектировщику - дешевле выйдет.
Подскажите, пожалуйста, по какой схеме нужно рассчитать прогиб балки вот такого механизма https://yadi.sk/i/MBmS5g9kgGBbF. Или может быть, не вдаваясь в расчеты, подскажите подойдет ли для стрелы 10 или 12 двутавр, максимальный груз 150-200 кг, высота подъема 4-5 метров. Стойка – труба d=150, поворотный механизм или полуось, или передняя ступица Газели. Укос можно сделать жестким из того же двутавра, а не тросом. Спасибо.
1. Стрелу можно рассматривать как двухпролетную неразрезную балку с консолью. Опорами для этой балки будут не только стойка (это средняя опора), но и узлы крепления троса (крайние опоры). Это статически неопределимая балка, но для упрощения расчетов (что приведет к небольшому повышению запаса прочности) стрелу можно рассматривать как просто однопролетную балку с консолью. Первая опора - узел крепления троса, вторая - стойка. Тогда ваши расчетные схемы 1.1 (для груза - временной нагрузки) и 2.3 (собственный вес стрелы - постоянная нагрузка) в таблице 3. А если груз будет посредине пролета, то 1.1 в таблице 1.
2. При этом нельзя забывать, что временная нагрузка у вас будет не статическая, а как минимум динамическая (см. статью "Расчет на ударные нагрузки").
3. Для определения усилий в тросе нужно разделить опорную реакцию в месте крепления троса на синус угла между тросом и балкой.
4. Вашу стойку можно рассматривать как металлическую колонну с одной опорой - жестким защемлением внизу (см. статью "Расчет металлических колонн"). К этой колонне нагрузка будет приложена с очень большим эксцентриситетом, если не будет контргруза.
5. Расчет узлов сопряжений стрелы и стойки и прочие тонкости расчета узлов машин и механизмов на данном сайте пока не рассматриваются.
какая расчетная схема в итоге получается для балки перекрытия и консольной балки, а также повлияет ли на уменьшение прогиба балки перекрытия (розовая) консольная балка (коричневый цвет)?
стена - пеноблок D500, высота 250 ширина 150, балка армопояса (голубая): 150х300, армирование 2х?12, верх и низ, дополнительно низ в пролете окна и верха в местах опирания балки на проем окна – сетки?5, ячейка 50. В углах бетонные колонны 200х200, пролет балки армопояса 4000 без стен.
перекрытие: швеллер 8П (розовый), для расчета брал 8У, вварен и заанкерен с арматурой балки армопояса, забетонирован, от низа балки до швеллера 190 мм, от верха 30, пролет 4050.
слева от консоли – проем для лестницы, опирание швеллера на трубу?50 (зеленая), пролет до балки 800.
справа от консоли (желтый) – санузел (душ, туалет) 2000х1000, пол – заливка армированной ребристой поперечной плиты, габариты 2000х1000 высота 40 – 100 на несъемной опалубке (профлист, волна 60) + плитка на клее, стены –гипсокартон на профилях. Остальной пол- доска 25, фанера, линолеум.
В точках стрелок опирание стоек бака с водой, 200л.
Стены 2 этажа: обшивка доской 25 с двух сторон, с утеплителем, высота 2000, опирание на армопояс.
крыша: стропила –треугольная арка с затяжкой, вдоль балки перекрытия, с шагом 1000, опирание на стены.
консоль: швеллер 8П, пролет 995, сварена с арматурой с усилением, забетонирована в балку, приварена к швеллеру перекрытия. пролет справа и слева по балке перекрытия – 2005.
Пока варю арматурный каркас, есть возможность сдвинуть консоль вправо-влево, но влево вроде не за чем?
В первом случае балку перекрытия можно рассматривать как шарнирно опертую двухпролетную балку с промежуточной опорой - трубой, а швеллер, который вы называете консольной балкой, вообще не учитывать. Вот собственно и весь расчет.
Далее, чтобы просто перейти к балке с жестким защемлением на крайних опорах, следует сначала рассчитать армопояс на действие крутящего момента и определить угол поворота поперечного сечения армопояса с учетом нагрузки от стен 2 этажа и деформаций материала стен под действием крутящего момента. И таким образом рассчитывать двухпролетную балку с учетом этих деформаций.
Кроме того в этом случае следует учесть возможную просадку опоры - трубы, так как она опирается не на фундамент, а на ж/б плиту (как я понял из рисунка) и эта плита будет деформироваться. Да и сама труба будет испытывать деформацию сжатия.
Во втором случае, если вы хотите учесть возможную работу коричневого швеллера, вам следует рассматривать его как дополнительную опору для балки перекрытия и таким образом сначала рассчитывать 3пролетную балку (опорная реакция на дополнительной опоре и будет нагрузкой на консольную балку), затем определять величину прогиба на конце консольной балки, пересчитывать основную балку с учетом просадки опоры и кроме всего прочего также учитывать угол поворота и прогиб армопояса в месте крепления коричневого швеллера. И это еще далеко не все.
Для расчета консоли и установки лучше взять половину пролета от стойки до балки (4050-800-50=3200/2=1600-40/2=1580) или от края окна (1275-40=1235. Да и нагрузку на балку как оконное перекрытие придется пересчитать, но у Вас есть такие примеры. Единсвенное, нагрузку брать как приложенную на балку сверху? Будет ли перераспределение нагрузки, приложенной почти по оси баки?
Вы предполагаете опирание плит перекрытия на нижнюю полку швеллера, но как быть с другой стороной? В вашем случае двутавр был бы более приемлемым вариантом (или по 2 швеллера как балка перекрытия).
С другой стороной проблем нет-уголок на закладных в теле балки. С расчетом двухпролетной балки с разными пролетами и разными нагрузками пока не справился, попробую перештудировать Вашу статью по расчету многопролетной балки методом моментов.
Я рассчитал по табл. 2, п. 1.1. (#comments) как прогиб консольной балки с нагрузкой 70 кг, плечом 1,8 м, труба квадратная 120х120х4 мм, моментом инерции 417 см4. У меня получился прогиб – 1,6 мм? Верно или нет?
P.S. А точность расчетов я не проверяю, тут уж только на себя надейтесь.
Можно сразу составлять уравнения статического равновесия системы и решать эти уравнения.
У меня балка по схеме 2.3. В Вашей таблице дана формула для расчета прогиба в середине пролета l/2, а по какой формуле можно просчитать прогиб на конце консоли? Прогиб в середине пролета будет максимальным? Сравнивать с предельно допустимым прогибом по СНиПу "Нагрузки и воздействия" полученный по этой формуле результат надо используя величину l - расстояние между точками А и В? Заранее спасибо, я что-то запуталась совсем. И еще, не могу найти первоисточник, из которого взяты эти таблицы - можно ли название указать?
Когда вы сравниваете полученный результат прогиба в пролете со СНиПовкским, то длина пролета - это расстояние l между А и В. Для консоли вместо l принимается расстояние 2а (двойной вылет консоли).
Данные таблицы я составил сам, воспользовавшись различными справочниками по теории сопротивления материалов, проверяя при этом данные на предмет возможных опечаток, а также общими методами расчета балок, когда необходимые на мой взгляд схемы в справочниках отсутствовали, поэтому первоисточников много.
что арматура в армопоясе над балкой полностью разрушена, армопояс треснет и ляжет на балку вместе с плитами перекрытия? Хватит ли этих 7 см опорной площадки?
Допустим я не знаю прогиб балки расчетной схемы 2.1 (табл. 1) . Я дважды проинтегрирую изгибающий момент ∫q*l2/8dx=q*l3/24;∫q*l3/24dx=q*l4/96.
После разделю значение на EI. q*l4/(96*EI).
И прибавлю к нему результат интегрирования угла поворота это - ∫q*l3/24dx=q*l4/96. q*l4/(96*EI)+q*l4/(96*EI)=q*l4/(48*EI).
У вас получается значение -5*q*l4/(384*EI).
Подскажите пожалуйста. Где я допустил ошибку? Способы выполнить расчет и проверку на прогиб
Методика выполнения расчета на прогиб
Вычисляем моменты инерции и сил
Формулы для практического использования
Заключение
Расчетная схема для задачи на прямой поперечный изгиб
Рис. 3.12Решение задачи "прямой поперечный изгиб"
Определяем опорные реакции
кН.
кН·м.
кН; кН·м.
кН;
кН·м.
кН·м.
.Определяем требуемый диаметр поперечного сечения балки
,
.
кН·см.
см.
кН/см2 кН/см2.
,Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям
,
кН. Тогда
кН/см2 кН/см2,Пример решения задачи "прямой поперечный изгиб" №2
Условие примера задачи на прямой поперечный изгиб
Пример задачи на прямой изгиб – расчетная схема
Решение примера задачи на прямой изгиб
Определяем опорные реакции
;
кН.Строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов
кН.
кН·м.
кН;
кН·м.
кН;Глава 1. ИЗГИБ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК И БАЛОЧНЫХ
СИСТЕМ
.
.
направлениям изгибающего момента и перерезывающей силы (б
)
в элементе пояска балки
.
Внутренние силовые факторы при изгибе балки.
Дифференциальные зависимости Журавского.
Нормальные напряжения при изгибе.
Касательные напряжения при прямом изгибе.
Расчеты на прочность при изгибе.
Перемещения при изгибе.
Метод Мора.
Правило Верещагина.
Loading...